Playing with topoi

[timelets]

I'm now stuck on this definition.




How can I construct a simple topos to work through the definition?

Let's start with (4) and say that B represents various kinds of sports games; S - a particular game of sports, e.g. football; 1 stands for the rules; Ω - truth table to determine the nature of the game.

Looking at (5), let PB be the score; that is, each game has a score according to the official rules. B -> PB.

Let A be a bet on the outcome of a game. g: A -> PB.

What's BxA? It looks like a matrix of games and related bets. Using f: BxA -> Ω, we can determine whether the bet was legit.

What's BxPB? It looks like a matrix of games and scores. Using epsilon: BxPB -> Ω we can determine whether the score was legit.

In this topos we can say that a unique function g maps all bets to legitimate scores.

Does this make sense?

Comments

[bamalip]

Я бы не назвал такое определение особо понятным. "P" это просто сопряженный функтор к...
Давайте перепишем последний пункт следующим образом.
-----------------------
Оглядимся по сторонам!
1.
Кроме исходной категории (С) будем рассматривать еще категорию Span (C), в которой набор объектов тот же, Ob Span (C) = Ob (C), а морфизмами A->B будут считаться спаны - т.е. пары морфизмов из исходной категории вида A<-X->B.
это можно выразить формулой:
Span (C) (A, B) = (сумма по X), C (X, A) x C(X, B)
Пункт с требованием существования pullbacks нужен, чтобы задать произведение на таких новых стрелочках.
Для вычисления произведения Span (C) (A, B) x Span (C) (B, C) -> Span C (A, C) по спанам A<-X->B, B<-Y->C вычислим сначала пуллбек X->B<-Y, получив некий X<-Z->Y, а затем домножим его на концах до A<-X<-Z->Y->C, получив требуемый спан-произведение из Span (C) (A, C). (Прошу прощения, я тут обозначил буквой С объект, но уже переписывать не буду). Тождественный (identity) спан из Span (C) (A, A) это A<-A->A c тождественными морфизмами. Можно проверить, что полученная структура удовлетворяет аксиомам категории.

Эквивалентно, спан можно считать стрелкой X -> AxB.

Интерпретировать спаны мы будем как отношения между A и B, которые умножаются как "многозначные отображения". Каждому элементу "a" из A ставятся в соответствие некоторые элементы из B, с учетом кратности элеметнов, где кратность "b" определяется тем, сколько элеметнов X соединяют "a" и "b". Но для исследований логики нам эта кратность мешает, поэтому мы далее от нее избавимся.

2.
Среди всех спанов вида X -> AxB есть "моноспаны", т.е. те, в которых стрелка X -> AxB является мономрфизмом. Мы интерпретируем это как то, что "a" и "b" могут быть связаны с кратностью 0 или 1, не более. Таким образом, остается логика, а арифметика из исследования исчезает. Мы будем интересоваться категорией MonoSpan (C).

3. Обычные отображения, т.е. стрелки исходной категории С, можно рассматривать как частный случай многозначных отображений. Стрелке f: A->B ставится в соответствие моноспан A<-A->B, в ктором первая стрелка, идущая в обраную сторону, тождественная. Таким образом получается функтор I: (C) -> MonoSpan (C), который не изменяет объекты, но достраивает стрелочки до спанов.

4. А есть ли у этого функтора сопряженный? Т.е. можем ли мы обратно превращать многозначные отображения (логические отношения) в простые отображения? Такой функтор часто существует, но он уже не будет тождественным на объектах. И именно его обозначают буквой P. РA это как бы "множество подмножеств", краеугольный камень старомодной теории множеств. При условии выполнения остальных аксиом топоса P изоморфен экспоненциалу: PA=(A->P1). Поскольку P1 при этом играет особую роль, для него вводится обозначение P1=Ω. Условие сопряжения I и P означает биекцию между стрелками С(A,PB) и моноспанами MonoSpan(C)(IA,B). Как для каждого сопряжения, здесь есть естественные преобразования "единица" A->PA из (С), которая ставит каждому элементу А в соответствие одноэлементное подмножество; и "коединица" PA<-(є)->A из MonoSpan(C), которая задает отношение принадлежности элементов и подмножеств.

[timelets]

Спасибо. Сейчас начну разбираться с таким подходом. Может, посоветуете где можно почитать про топосы "для чайников"?

[bamalip]

совсем для чайников нету, а эту Вы, наверное, уже видели: Sheaves in Geometry and Logic, A First Introduction to Topos Theory

но мне больше нравится Toposes, Triples and Theories http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/12/tr12.pdf

[timelets]

Я сейчас разбираюсь с Sheaves; определение топоса оттуда.

Спасибо за совет; сейчас посмотрю по ссылке.